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动态规划

题目描述： 给出一个整数数组，求得一个非空的子数组（连续一段数），使得它的和最大。

1.解题思路一：分治

将数组分成等长的两部分，最后的答案要么在左边存在，要么再右边存在，要么是跨越中心点的某个连续数组，只有这三种情况了

先分：两个基本等长的子数组，分别求解T(n/2)

后合：跨越中心点的最大子数组合，全部枚举出来 O(n)

时间复杂度是：O(n*log n)

//时间复杂度：O(nlogn) int maxSubArray(vector
   
    & nums) {        int n = nums.size();        if(n == 1){            return nums[0];        }         int mid = n>>1;  //除以二        //左边是0~mid-1,右边是mid~n-1        vector
    
      left(mid);        vector
     
       right(n-mid);//构造两个左右vector数组        for(int i = 0;i < mid;i++)        {            left[i] = nums[i];        }        for(int i = 0,j = mid;i < right.size();i++,j++)        {            right[i] = nums[j];        }        int answer = max(maxSubArray(left),maxSubArray(right));        //这个answer是左右两部分里面的某一个        //接下来就要假设是不是跨越中心点的子数组，注意这个是假设的，不是最终答案，最终答案是与上面的answer对比，求出三部分中最大的就是真正的答案        //注意下面这个是每次分半都要经过的一步        int now = nums[mid-1];//假设从mid-1开始走，往0(前面)走        int may = now;        for(int i = mid-2;i >= 0;--i){            may = max(may,now+=nums[i]);            //往左走的最大值，我们将其放在may中        }        now = may;//往左走完了，这个值确定了，may        for(int i = mid;i < n;++i){            may = max(may,now += nums[i]);                //往右走的最大值，我们将其更新到may中        }        return max(answer,may);        }
     
    
   

总结一下上面代码大致的意思：

我们得到一个数组，对其进行分半，left and right，每次分半都分别对其left 和 right求一个answer = max(maxSubArray(left),maxSubArray(right))，当然这个max开始是求不到的，因为我们没有返回值，于是乎，继续对这个left和right进行分半，直到啥时候呢？到left 和 right 他们都只剩一个一个元素，这时候只能返回这一个元素了，哈哈，终于有返回了，立马比较得出answer，现在就是开始合的过程了 从最下面开始，返回了一个answer之后，执行下面的代码，now = nums[mid-1]，显而易见，这个mid从最底端的0开始，左边走完确定一个may=nums[0]，再往右边走，确定一个跨越中心点的最大值（这个跨越中心点在左两端）,may = max( nums[0] , nums[0]+nums[1] )值，再与两端的max比较，即与nums[0] 和 nums[1]中较大的值比较，之后按照这个顺序继续往上合，每个max值都比较过，就得出了真正最大的子数组的最大值 下面是我写的一个大致的流程： 先从上倒下分开，再从下开始比较往上走，这是给出的测试用例

2.解题思路二：动态规划

我们假设以dp[i]表示以a[i]结尾的最大子数组的和 dp[i] = max(dp[i-1] + a[i] , a[i]); 这个式子怎么理解呢？ 对于每个位置的最优解，我们考虑两种情况： 1.包含前一个元素，那这个等式就结果就是dp[i-1]+a[i]（既然包含前一个元素dp[i-1]，前一个元素也可能包含前一个元素，也可能不包含，这样递推回去就能得到最优解） 2.不包含前一个元素，那就是a[i]，将dp[i]设置成a[i] （这里的意思是，加了上一个最优解还不如不加，也就是整个前面的最优解是个负数，拉了后腿，才被舍弃）

并且，我们每次都可以使用一个变量answer来保存当前的最大值，先保存a[0]，之后遇到新的最优解，刷新answer，之后每次得到新的dp[i]，就与之前的最大做对比，不断刷新变量answer，最后返回它即可。

//时间复杂度O(n),空间复杂度O(1)int maxSubArray(vector
   
    & nums) {    int m = nums.size();    if(m == 1)    {        return nums[0];     }    vector
    
      dp(m);    int answer = nums[0];    dp[0] = nums[0];    for(int i = 1;i < m;i++)    {        dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);        answer = max(dp[i],answer);    }    return answer;}
    
   

下面也有一张自己画的流程图，这个比较简单一点：

下面这张表是运行过程中存在的，函数返回之后就销毁了，实际上我们只保存了answer这个一个变量，空间复杂度是O(1)

3.解题思路三：线性枚举

我们假设总数：sum[i] = a[0] + a[1] + a[2] + …… +a[i] i>=0 假设：sum[-1] = 0

则对0 <= i <= j，任意这样的i，j两数

a[i] + a[i+1] + ….. +a[j] = sum[j] - sum[i-1]

根据这个规律，我们想要的不就是这样的一个最大值么？一段区间内的连续值总和最大

So我们可以求得当前的sum[j]，取的i-1值一定是使得sum[i-1]最小，然后用一个变量记录sum的最小值，最后用sum[j]减去这个最小值，就得到一个最大值，不断刷新这个最大值，返回

//时间复杂度O(n),空间复杂度O(1)int maxSubArray(vector
   
    & nums) {    int sum = nums[0];    int minsum = min(0,sum); //和sum[-1] = 0作比较    int answer = nums[0];    for(int i = 1;i < nums.size();i++){        sum += nums[i];  //这是一直的总数，j值        answer = max(answer,sum - minsum);        minsum = min(minsum,sum);    }    return answer;}
   

总结一下这个题目，思路并不是很难，但是与上面的都不太相同：

就是相当于轮询一个j，我们从1开始，记录一个sum[j]总数，同时从0开始记录一个minsum（一开始的minsum和0作对比，因为是负数的话就直接取它，是正数的话就取0，也就相当于略过这一位，从下一位开始）。

之后从1开始，刷新 answer = max(answer , sum - minsum)，要使得sum - minsum最大，那就minsum一直应该是最小，也就是记录下最小的那个minsum，也就是说有一个位置确定了，除非找到比那个位置更小的。它一直与sum比较，sum也就是指前 i 项，也就是最小的前 i 项数。

一直比较新得到的那个answer，返回。

有什么错误还请指出，谢谢